读题

P1535 [USACO08MAR] Cow Travelling S - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

题目大概意思是说，奶牛在一个给定大小的矩形范围内走，地块有两种：草地或者树，其中树奶牛不能走。

奶牛一次可以上下左右走，不能原地不动（但是可以绕圈！），给定两个点A,B，求出奶牛从A到B的步数为T的路径总数。

这里原题表述有些问题，不知道是不是翻译的不清楚，原文说的是“在 T 秒内”，但是实际上就看的是T秒这一秒。害得我半天没找出毛病，还是看讨论版才发现的

思路

最早想的是用BFS来搜索，直到队首元素的时间到t+1位置。但是试了一下就报MLE了，也没想再用记忆化搜索之类的优化了。

突然想到，奶牛的在每一时刻的到某点的数字就像“切片”一样，而这种不同时间、坐标直接的推导关系是非常明显的，某一时刻的路径总数等于上一时刻的四周路径总数之和。当然如果是树的话就为0。据此可以写出dp公式：

dp[x][y][t] =
\begin{cases}
0 & \text{if } \text{block}[x][y] = 1 \\
dp[x-1][y][t-1] + dp[x+1][y][t-1] + dp[x][y-1][t-1] + dp[x][y+1][t-1] & \text{otherwise}
\end{cases}

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, m, t;
int block[110][110]{0};  // 0未被阻挡
int dp[110][110][16]{0};

bool is_valid(int x, int y)
{
    return x >= 1 && x <= n && y >= 1 && y <= m && !block[x][y];
}

int main()
{
    cin >> n >> m >> t;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            char c;
            cin >> c;
            block[i][j] = (c == '*' ? 1 : 0);
        }
    }
    int x1, y1, x2, y2;
    cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;

    dp[x1][y1][0] = 1;
    for (int k = 1; k <= t; k++)
    {
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= m; j++)
            {
                if (is_valid(i, j))
                {
                    if (is_valid(i - 1, j)) dp[i][j][k] += dp[i - 1][j][k - 1];
                    if (is_valid(i + 1, j)) dp[i][j][k] += dp[i + 1][j][k - 1];
                    if (is_valid(i, j - 1)) dp[i][j][k] += dp[i][j - 1][k - 1];
                    if (is_valid(i, j + 1)) dp[i][j][k] += dp[i][j + 1][k - 1];
                }
            }
        }
    }

    int ans = 0;

    // for (int i = 1; i <= n; i++)
    // {
    //     for (int j = 0; j < m; j++)
    //     {
    //         cout << dp[i][j][1] << ' ';
    //     }
    //     cout << '\n';
    // }

    cout << dp[x2][y2][t] << endl;
    system("pause");
    return 0;
}